Sobre la noción de estructura matemática abstracta en la teoría de categorías (superiores)
DOI:
https://doi.org/10.35588/cc.v7d8359Palabras clave:
teoría de n-categorías, estructura, isomorfismo, equivalencia, abstracción, principio de identidad, mónadaResumen
En este artículo analizaremos dos de los sentidos que reviste el término estructura en la teoría de categorías (superiores). A dichos efectos, entenderemos una categoría como un contexto ontológico relacional asociado a un tipo de estructura matemática abstracta (e.g. categoría de grupos). En la expresión estructura matemática abstracta, el término estructura tiene un doble significado. Por un lado, hace referencia a los tipos de estructura que se pueden definir sobre una materia conjuntista (e.g. estructura de grupo) y a los modelos de cada tipo de estructura (cada grupo en particular). Por otro lado, el término estructura hace referencia al concepto abstracto producido por la relación de isomorfismo (y, más generalmente, por la relación de equivalencia en el caso general de una categoría superior). Objetos isomorfos de una categoría pueden ser entendidos como distintas presentaciones de la misma estructura abstracta, cada una de las cuales es un modelo del tipo de estructura correspondiente. En este artículo, intentamos desarrollar ambos sentidos del término estructura – así como las relaciones entre los tres conceptos centrales: tipo de estructura, modelo y presentación – en un marco conceptual unificado.
Dado que una categoría es ella misma un referente del discurso matemático, mostraremos que los conceptos de tipo de estructura, modelo y presentación se aplican reflexivamente a la noción misma de categoría. En efecto, una categoría puede entenderse como una presentación de un modelo de un tipo de estructura cuyo contexto ontológico relacional asociado es la 2-categoría de categorías Cat. Veremos que este tipo de estructura también puede ser entendido como una materia conjuntista (bisortal) enriquecida con una estructura de categoría. Los modelos de dicho tipo de estructura están definidos por el criterio de igualdad para las categorías dado por la noción de equivalencia de categoría.
Finalmente, argumentaremos que esta caracterización “estructuralista” de la noción misma de categoría (y de categoría superior) actúa retroactivamente sobre el modo de entender la noción de estructura matemática abstracta en general. Cada modelo de una estructura no estará asociado a una clase de equivalencia como es el caso en el marco de la abstracción fregeana, sino (en el caso general) a una componente conexa del ∞-grupoide subyacente a la ∞-categoría correspondiente.
Descargas
Referencias
Ahrens, B., Kapulkin, K. y Shulman, M. (2015). Univalent Categories and the Rezk Completion. Math. Struct. Comput. Sci., 25, 1010–1039.
Anel, M. y Joyal, A. (2021). Topo-logic. En M. Anel y G. Catren (Eds.), New Spaces in Mathematics. Formal and Conceptual Reflections. Cambridge: Cambridge University Press.
Angelelli, I. (1984). Frege and Abstraction. Philosophia Naturalis, 21, 453–471.
Awodey, S. (1996). Structure in Mathematics and Logic: A Categorical Perspective. Philosophia Mathematica, 3, 209–237.
Awodey, S. (2004). An Answer to Hellman’s Question: Does Category Theory Provide a Framework for Mathematical Structuralism. Philosophia Mathematica, 12, 54–64.
Awodey, S. (2006). Category Theory. New York: Oxford University Press.
Awodey, S. (2014). Structuralism, Invariance, and Univalence. Philosophia Mathematica, 22(1), 1–11.
Bell, J.L. (1981). Category Theory and the Foundations of Mathematics. British Journal for the Philosophy of Science, 32, 349–358.
Bell, J.L. (1986). From Absolute to Local Mathematics. Synthese, 69(3), 409–426.
Bell, J.L. (2006). Abstract and Variable Sets in Category Theory. En G. Sica (Ed.), What is Category Theory? Milan: Polimetrica.
Bell, J.L. (2020). Reflections on Bourbaki’s Notion of “Structure” and Categories. En A. Peruzzi y S. Zipoli Caiani (Eds.), Structures Mères: Semantics, Mathematics, and Cognitive Science. Cham, Switzerland: Springer.
Benacerraf, P. (1965). What Numbers Could Not Be. The Philosophical Review, 74(1), 47–73.
Bourbaki, N. (1950). The Architecture of Mathematics. American Mathematical Monthly, 57, 221–232.
Catren, G. (2023). Abstraction, Equality, and Univalence. Philosophical Transactions of the Royal Society A, 381(2255).
Cheng, E. (2022). The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life. Cambridge University Press.
Cheng, E. y Lauda, A. (2004). Higher-Dimensional Categories: An Illustrated Guide Book.
Corry, L. (1992). Nicolas Bourbaki and the Concept of Mathematical Structure. Synthese 92, 315–348.
Corry, L. (2004). Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures (second edition). Basel: Birkhäuser Basel.
Cottrell, T. (2018). A Study of Penon Weak n-Categories, Part 1, Monad Interleaving. Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, LIX-3.
Dubuc, E. (2014). Categorías. Los 30 primeros años. ArXiv:1404.6240 [math.HO].
Eilenberg, S. y Mac Lane, S. (1945). A General Theory of Natural Equivalences. Trans. Amer. Math. Soc., 58, 231–294.
Ellerman, D.P. (1988). Category Theory and Concrete Universals. Erkenntnis (1975-), 28(3), 409–429.
Feferman, S. (1977). Categorical Foundations and Foundations of Category Theory. En R.E. Butts y J. Hintikka (Eds.), Logic, Foundations of Mathematics and Computability Theory (pp. 149–169). Dordrecht: Reidel.
Frege, G. (1960). On Sense and Reference. En P. Geach y M. Black (Eds. y Trads.), Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege. Oxford: Basil Blackwell.
Frege, G. (1972). Conceptual Notation: A Formula Language of Pure Thought Modeled upon the Formula Language of Arithmetic [Begriffsschrift]. En Conceptual Notation and Related Articles (T.W. Bynum, Trad.). Oxford: Clarendon Press.
Frege, G. (1980). Philosophical and Mathematical Correspondence (G. Gabriel, H. Hermes, F. Kambartel, C. Thiel y A. Veraart, Eds.; H. Kaal, Trad.). Oxford, UK: Basil Blackwell.
French, S. y Krause, D. (2006). Identity in Physics. A Historical, Philosophical, and Formal Analysis. New York: Oxford University Press.
Girard, J.-Y. (1989). Proofs and Types (P. Taylor y Y. Lafont, Trads.). Cambridge University Press.
Grothendieck, A. (1957). Sur quelques points d’algèbre homologique. Tôhoku Mathematical Journal, 9, 119–221.
Heinzmann, G. y Petitot, J. (2020). The Functional Role of Structures in Bourbaki. En E.H. Reck y G. Schiemer (Eds.), The Prehistory of Mathematical Structuralism (pp. 187–214). Oxford: Oxford University Press.
Hellman, G. (2003). Does Category Theory Provide a Framework for Mathematical Structuralism? Philosophia Mathematica, 11(3), 129–157.
The Univalent Foundations Program. Institute for Advanced Study (2013). Homotopy Type Theory. Univalent Foundations of Mathematics.
Kant, I. (1781/2002). Theoretical Philosophy after 1781 (H. Allison y P. Heath, Eds.; G. Hatfield, M. Friedman, H. Allison y P. Heath, Trads.). Cambridge University Press.
Krömer, R. (2007). Tool and Object. A History and Philosophy of Category Theory. Basel: Birkhäuser, Verlag.
Lambek, J. (1982). What is the World of Mathematics? Annals of Pure and Applied Logic, 126(1-3), 149–158.
Landry, E. (1999). Category Theory as a Framework for Mathematical Structuralism. The 1998 Annual Proceedings of the Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics, 133–142.
Landry, E. (2006). Category Theory as a Framework for an in re Interpretation of Mathematical Structuralism. En Johan van Benthem, Gerhard Heinzmann, Manuel Rebuschi y Henk Visser (Eds.), The Age of Alternative Logics: Assessing Philosophy of Logic and Mathematics Today (pp. 163–179). Dordrecht: Springer Netherlands.
Landry, E. (Ed.). (2017). Categories for the Working Philosopher. Oxford: Oxford University Press.
Landry, E. y Marquis, J.-P. (2005). Categories in Context: Historical, Foundational, and Philosophical. Philosophia Mathematica, (III)13, 1–43.
Lawvere, F.W. y Rosebrugh, R. (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press.
Leinster, T. (2002). A Survey of Definitions of n-Category. Theory and Applications of Categories, 10(1), 1–70.
Leinster, T. (2014). Basic Category Theory. Cambridge University Press.
Linnebo, Ø. y Pettigrew, R. (2011). Category Theory as an Autonomous Foundation. Philosophia Mathematica, 19(3), 227–254.
Mac Lane, S. (1986). Mathematics, Form and Function. New York: Springer.
Mac Lane, S. (1996). Structure in Mathematics. Philosophia Mathematica, 4(2), 174–183.
Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd edition). New York: Springer-Verlag.
Mancosu P. (2016). Abstraction and Infinity. Oxford, UK: Oxford University Press.
Manin, Y.I. (2003). Georg Cantor and His Heritage, talk at the meeting of the German Mathematical Society and the Cantor Medal Award Ceremony, arXiv:math/0209244 [math.AG].
Mazur, B. (2009). When is One Thing Equal to Some Other Thing? En B. Gold y R. Simons (Eds.), Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy (pp. 221–241). The Mathematical Association of America.
McLarty, C. (1990). The Uses and Abuses of the History of Topos Theory. Brit. J. Phil. Sci., 41, 351–375.
McLarty, C. (1993). Numbers Can Be Just What They Have To. Nous, 27, 487–498.
McLarty, C. (2004). Exploring Categorical Structuralism. Philosophia Mathematica, 12(3), 37–53.
McLarty, C. (2005). Learning from Questions on Categorical Foundations. Philosophia Mathematica, 13(1), 44–60.
Makkai, M. (1998). Towards a Categorical Foundation of Mathematics. Lecture Notes in Logic (Volume 11). Berlin: Springer, 153–190.
Marquis, J.-P. (2006). Categories, Sets and the Nature of Mathematical Entities. En J. van Benthem, G. Heinzmann, Ph. Nabonnand, M. Rebuschi y H. Visser (Eds.), The Age of Alternative Logics. Assessing philosophy of logic and mathematics today (pp. 181–192). Springer.
Marquis, J.-P. (2009). From a Geometrical Point of View. A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Dordrecht: Springer.
Marquis, J.-P. (2013). Categorical Foundations of Mathematics: Or How to Provide Foundations for Abstract Mathematics. The Review of Symbolic Logic, 6, 51–75.
Marquis, J.-P. (2015). Category Theory. En Edward N. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2015 Edition).
Marquis, J.-P. (2020). Forms of Structuralism: Bourbaki and the Philosophers. En A. Peruzzi y S. Zipoli Caiani (Eds.), Structures Mères: Semantics, Mathematics, and Cognitive Science. Cham, Switzerland: Springer.
Marquis, J.-P. (2022). The Structuralist Mathematical Style: Bourbaki as a Case Study. En G. Oliveri, C. Ternullo y S. Boscolo (Eds.), Objects, Structures, and Logics. FilMat Studies in the Philosophy of Mathematics, Boston Studies in the Philosophy and History of Science (pp. 199–231). Cham, Switzerland: Springer.
Martin-Löf, P. (2021). The Sense/Reference Distinction in Constructive Semantics. The Bulletin of Symbolic Logic, 27(4), 501–513.
Pedroso, M. (2009). On Three Arguments Against Categorical Structuralism. Synthese, 170, 21–31.
Penon, J. (1999). Approche polygraphique des ∞-catégories non strictes. Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, XL-1:31–80.
Quine, W.V. (1950). Methods of Logic. Harvard University Press.
Quine, W.V. (1960). Word and Object. Cambridge, Massachusetts : The MIT Press.
Quine, W.V. (1969). Ontological Relativity and Other Essays. New York: Columbia University Press.
Reck, E.H. y Schiemer, G. (Eds.). (2020). The Prehistory of Mathematical Structuralism. Oxford: Oxford University Press.
Reck, E. y Schiemer, G. (2025). Structuralism in the Philosophy of Mathematics. En Edward N. Zalta y Uri Nodelman (Eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2025 Edition).
Resnik, M.D. (1997). Mathematics as a Science of Patterns. Oxford: Oxford University Press.
Riehl, E. (2016). Category Theory in Context. Dover.
Riehl, E. (2021). Infinity Category Theory Offers a Bird’s-Eye View of Mathematics. Scientific American Magazine, 325(4).
Rijke, E. (2025). Introduction to Homotopy Type Theory. Cambridge University Press.
Rodin, A. (2011). Categories Without Structures. Philosophia Mathematica, (III) 19, 20–46.
Rodin, A. (2014). Axiomatic Method and Category Theory. Springer International Publishing Switzerland.
Shapiro, S. (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford: Oxford University Press.
Shapiro, S. (2005). Categories, Structures, and the Frege-Hilbert Controversy: The Status of Meta-Mathematics. Philosophia Mathematica, 13(1), 61–77.
Shulman, M. (2017). Homotopy Type Theory: A Synthetic Approach to Higher Equalities. En E. Landry (Ed.), Categories for the Working Philosopher. Oxford: Oxford University Press.
Weyl, H. (1952). Symmetry. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.
Whitehead, A.N. (1898). A Treatise on Universal Algebra. Cambridge University Press.
Wittgenstein, L. (1993). Tractatus Logico-Philosophicus (G.-G. Granger, Trad.). Paris: Editions Gallimard.
Descargas
Enviado
2026-10-31Publicado
Número
Sección
Licencia
Derechos de autor 2026 Gabriel Catren
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución 4.0.
